RESUMEN
La evolución de las herramientas y artilugios destinados a simplificar el entendimiento de las matemáticas en todas las culturas ha sido objeto de interés hasta desde la antigüedad hasta el día de hoy. En el antiguo Perú existió una herramienta de cálculo denominado por los investigadores como “YUPANA”, que tiene una similitud con el ABACO de origen Chino. En este proyecto se ha desarrollar un hardware y un software utilizando el sistema de cálculo de los antiguos peruanos; para ser usado en los procesos de operatividad básica de matemática de números enteros positivos en colegios de educación primaria.
Motivado por los indicadores que al Perú lo ubican en los últimos lugares en América Latina, en habilidades matemáticas. Este proyecto tienes dos etapas en la primera ha tomado como base teórica las interpretaciones de la Yupana de Ing. Hugo Pereira Sanchez (investigador de la UNI, libro Proyecto Quipu) en el desarrollo de la Yupana hardware y en la segunda parte se ha contado con la colaboración del Dr. Andrés Chirinos Rivera (investigador de la UNI, libro Quipu del Tahuantinsuyo), en el desarrollo del la Yupana Software.
Chirinos demostró las ventajas didácticas que ofrece la Yupana porque ofrece una alternativa visual, al desarrollo de los algoritmos tradicionales de operatividad numérica
(Adición, sustracción, multiplicación y división); El demostró esta ventaja con resultados, cuando implemento la Yupana, en colegios de la Selva Peruana. El software se encuentra en fase, experimental y hacemos público el código fuente para que otros investigadores lo sigan desarrollando.
Se ha desarrollado hardware y software de Yupana basado en interpretaciones de Charles Wiener(1877), Henry Wassén (1931), Nicolino De Pasquale (2001), entre otros, que son de código cerrado, que hace difícil desarrollar en base a estos códigos fuente .
Palabras clave : Software, Yupana, matemática,
Key words : Software, web,matematic
1. INTRODUCCIÓN
Uno de los enigmas del antiguo Perú, es el avance alcanzado en matemáticas y el sistema de cálculo de los incas. Otra interrogante son los artilugios usaban para realizar operaciones, el cronista Guamán Poma de Ayala, identifica gráficamente ver figura 1, una tabla que hoy se denomina Yupana, como herramientas para realizar operaciones matemáticas basadas en valores posicionales.
Los cronistas el padre jesuita José Acosta y Juan de Velasco, lo describen como tablas que usan granos para hacer cálculos, con el movimiento de granos en los diferentes espacios, logrando realizar operaciones con precisión y rapidez mejor que la aritmética española, los cronistas no documentaron como se usaba las tablas de cálculo.
Figura 1: Nueva Crónica y Buen Gobierno (1615)
(Referencial, http://wiki.sumaqperu.com/es/Felipe_Guam%C3%A1n_Poma_de_Ayala)
Todavía no se sabe cómo se usaba exactamente la Yupana; existente un debate entre los investigadores sobre cómo funcionaba y esta diferencia ha generado muchas teorías que mostramos en el cuadro 1:
Cada autor ha interpretado diferente la manera de usar la Yupana, no hay consenso, desde Wiener que reporto estos tableros como una herramienta para calcular los tributos al Inca hasta Andrés Chirinos que aplico de manera practica en escuelas del Perú. En este proyecto de investigación se emplea como base teórica las interpretaciones de la Yupana del Ing. Hugo Pereira Sánchez (investigador de la UNI, libro Proyecto Quipu) y también la interpretación teórica del Dr. Andrés Chirinos Rivera, (libro Quipu del Tahuantinsuyo).
Este proyecto de investigación pretende rescatar la Yupana como un instrumento nativo, aplicando tecnologías digitales de tal manera que sea un puente cultural entre el pasado y el presente, dado lo seductor que resultan las aplicaciones en ordenador a los jóvenes de hoy. Es importante mencionar que el proyecto se inició Universidad Nacional de Ingeniería, en el laboratorio de diseño digital FAB LAB UNI-FAUA, que fue el tema final del FAB ACADEMY 2012, para obtener la certificación del MIT-USA, en diseño digital; Ambos proyectos han obtenido la solicitud de trámite de patente modelo de utilidad de Yupana hardware (Nº de expediente 2512-2012/DIN) y el registro del software Yupana (Nº de expediente 001286-2014) en INDECOPI.
Este proyecto fue presentado como ponencia en el Congreso Mundial de diseño digital 2013, en YOKOHAMA-JAPON, llamando la atención por su parecido con el Abaco que usan en Asia.
Esta Investigación se encuentra en la primera fase de desarrollo y se constituye en una herramienta de cálculo para los niños se inicien en el mundo de las matemáticas.
2. MARCO TEORICO
El marco teórico para el diseño de hardware y software del proyecto YUPANA, se basa en la interpretación de Hugo Pereira y Andrés Chirinos respectivamente.
Todas las investigaciones sobre la Yupana, coinciden en el empleo de valores posicionales asignándoles a cada espacio un valor numérico; Es en este ámbito los diversos autores se dividen entre quienes creen que eran calendarios, herramientas de cálculo, juegos de azar o maquetas arquitectónicas, todo giran en torno a la relación numérica de la Yupana y se especula sobre cómo se usaba.
Las crónicas cuentan que los quipucamayos lo usaba desplazando granos de maíz o piedrecillas y podían realizar operaciones con mucha precisión.
La Yupana está muy relacionado con los quipus estas cuerdas anudadas donde se almacenaba la información estadística, era una suerte de tabla Excel empleado por los antiguos peruanos. Estas cuerdas anudas eran productos textiles con un alto nivel de sofisticación, que requerían de una maestría para su fabricación, esto debido a la importancia de los textiles dentro de la cultura andina que usaba el código binario para sus diseños.
No hay software desarrollados en el Perú, que incorporen la interpretación teórica de Ing. Hugo Pereira Sánchez y el Dr. Andrés Chirinos Rivera, para tal fin se ha tomado la licencia de desarrollar esta investigación, aplicando dichas interpretaciones teóricas.
3. METODOLOGIA
El desarrollo del hardware y software planteo problemas metodológicos desde el punto de vista de la tecnología, de la fabricación del prototipo del hardware y el código fuente para el software; para desarrollar los algoritmos se usó el sistema de cálculo según la interpretación de Hugo Pereira y Andrés chirinos.
Para efectos de la investigación usamos técnicas tradicionales y modernas que adaptamos las necesidades del proyecto, que explicaremos a continuación.
3.1 Ámbito del hardware
La investigación utilizo el método de la aproximación de la prueba error, en una primera etapa se procedió a analizar los antecedentes del estado de la técnica, y para tal fin identifico que el matemático italiano, Nicolino De Pasquale, desarrollo una Yupana electrónica ver figura 2.
Figura 2: Yupana electrónica, construido por el matemático italiano, Nicolino De Pasquale (http://www.abovetopsecret.com/forum/thread784247/pg1)
Se estudió la semejanza con el Abaco chino electrónico para identificar, posibles analogías, dado el parecido
Se definió diseñar un objeto que recree una Yupana con la configuración que Guamán Poma de Ayala, planteo en 1615.
Uno de los primeros problemas a resolver es la parte del soporte (carcasa) de la parte electrónica, y el sistema de sensores que reconocerá los granos que identifiquen el número deseado.
Se probó con sensores de luz (foto resistencias) en miniatura, se descartó porque una vez ingresado un grano, se activaba un número y si se deseaba adicionar otro número no lo reconocía.
Se intentó usar una placa metálica como sensor, para que active el número con piezas metálicas por diferencia de resistencia. También fue un problema porque los componentes electrónicos para este fin son de dimensiones que hacen crecer mucho la Yupana electrónica.
La ubicación de la pantalla que permita visualizar los números y los botones de suma, restan, apagado, prendido y cambio de base también presentado un problema de diseño.
Se realizador muchas pruebas de ubicación, de la consola y los espacios que conforman la cara de la Yupana.
3.1.1 Antecedente chino
Actualmente, existen calculadoras digitales que simulan operaciones con ábacos chinos, tal como el antecedente más cercano divulgado en la patente china CN86204554 (A1) con fecha de publicación 1986-12-17; ZHANG JIUGUI; “Calculadora electrónica del tipo de cuentas movibles”. Dicha patente se refiere a una calculadora electrónica provista de cuentas movibles para simular el uso de un ábaco chino, la calculadora facilita el aprendizaje de las operaciones de suma y resta; la calculadora está provista de un circuito electrónico (microprocesador), una pantalla de exhibición (display) y cuentas dispuestas en forma similar que el ábaco y que al desplazarse activan un interruptor eléctrico (Ver Fig. 3) para efectuar las operaciones en lugar de presionar un teclado
Ver figura 3: se muestra el esquema del funcionamiento
del Ábaco electrónico, den antecedente
Sin embargo, el funcionamiento del ábaco chino es muy diferente al funcionamiento de la Yupana; en el ábaco chino los campos de los números también están divididos en unidades, decenas, centenas, y así sucesivamente, durante la operación del ábaco chino las bolillas se desplazan para realizar las operaciones; mientras que, en la Yupana los campos están formados en oquedades dentro de las cuales se colocan las cuentas o bolillas durante la operación. Por lo tanto, para simular la operación de la Yupana es necesario colocar las cuentas para visualizar los números; asimismo, con la Yupana se puede realizar operaciones en diferentes bases numéricas tales como base 5, 10, 40; mientras que con el ábaco chino la base utilizada es únicamente la base 10. Para simular la Yupana en la solución propuesta se utiliza una calculadora digital en donde, al colocarse las cuentas o bolillas se activa un sensor, o en una solución alternativa cuando no se requiere del uso de cuentas o bolillas, al accionarse el sensor se enciende un LED asociado a este.
3.1.2 Descripción de la Yupana hardware
La presente Yupana es susceptible de realización en muchas formas diferentes, los dibujos y la descripción muestran en detalle una forma de realización preferida de la invención. Se debe entender que los dibujos y la descripción han de considerarse como una ejemplificación de los principios de la invención y no están destinados a limitar los aspectos amplios de la invención a las realizaciones ilustradas.
A continuación, en relación con las figuras 4 y 5 se describe una calculadora digital basada en la Yupana, la misma que comprende: una placa de circuito impreso (1) donde se realiza el montaje de los componentes electrónicos, tales como: los sensores (2), por razones de claridad se numerará solo un sensor, el microprocesador (3), interruptores (4, 4’, 4”), circuitos integrados (5) y una pantalla (6) de visualización LCD; asimismo, comprende una cubierta (7) de acrílico transparente.
Como se puede observar el tablero está dividido en tres filas (U, D, C) de cuatro campos (a, b, c d) cada una, en cada campo se coloca un sensor asociado con la cantidad de unidades que se utilizan en la Yupana; un sensor para el primer campo, dos sensores para el segundo campo, tres sensores para el tercer campo (que resulta de la suma de los campos anteriores) y finalmente cinco sensores para el cuarto campo (que resulta también de la suma de los campos anteriores); de igual forma se divide los campos correspondientes a las decenas y centenas.
También se utiliza un interruptor para encender la calculadora o reiniciar una operación, un interruptor para cambiar de base de número y otro para modificar la intensidad luminosa de la pantalla.
En una realización alternativa, cada sensor está asociado con un LED (8) adyacente el mismo que sirve para visualizar la unidad correspondiente encendiéndose; de esta forma no es necesario utilizar cuentas, bolillas o bolillas provistas de un pin para visualizar los números utilizados en la operación.
Aunque la invención se ha descrito con referencia a una realización preferida, se comprenderá por los expertos en la técnica que varios cambios equivalentes se pueden hacer, y pueden ser sustituidos, sin apartarse de los aspectos amplios de la invención.
Por consiguiente, se pretende que la descripción detallada anterior sea considerada como ilustrativa y no limitativa, y que se entienda que son las siguientes reivindicaciones, incluyendo todos los equivalentes, que están destinadas a definir el alcance de esta yupana.
Figura 4: muestra la consola de diseño de la Yupana.
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| Figura 5: muestra la consola de diseño de la Yupana |
3.2 Ámbito del software
Para llevar a cabo el desarrollo del yupana software se tomó como antecedente, el software-Tk Yupana que es un sencillo programa que muestra algunas teorías sobre la Yupana, basada en el sistema numérico posicional de base 10. Ver figura 6.
Figura 6: el sistema Tk-yupana tiene en el pantallaso principal
un video tutorial y en PDF http://www.kunturweb.tk
https://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=gX4ElP-KFQM
http://kunturweb.altervista.org/tk-yupana/doc/tk-yupana-ES.pdf
Dado que el código fuente es cerrado, se ha construido un cuadro con las características técnicas relevantes ver cuadro 2
Cuadro 2: en este cuadro de presenta las
características técnicas del software de antecedente.
3.2.1 Metodología cuantitativa
Esta metodología cuantitativa se basa en el desarrollo de la ingeniería de software que es el marco de trabajo usado para estructurar, planificar y controlar el proceso de desarrollo en los sistemas de información.
Para el desarrollo del software en esta investigación se usó el modelo Top-down («de arriba abajo»); dado que cada proyecto tiene su particularidad, se ha adecuado este modelo siguiendo los siguientes pasos
I. Definir el proyecto. II. Análisis del contexto. III. Definición de los requerimientos. IV. Diseño preliminar. V. Diseño detallado.
3.2.2 Metodología cualitativa
En el proyecto la metodología cualitativa se basa en el interfaz del entorno grafico web de usuario. Habitualmente las acciones del usuario se realizan mediante la manipulación del entorno grafico web (formulario).
El entorno grafico web, es todo aquello visual (diseño) que nos da la mejor apariencia del software y esta relacionado con los hábitos de los usuarios de internet. Para el presente proyecto se ha tomado en
cuenta empíricamente, entornos gráficos web que se asemejan a la propuesta y nos centramos en el impacto del usuarios de acuerdo a nuestra sensibilidad.
Para posteriores investigaciones se requerirá de un estudio especializado de hábitos de usuarios de entorno grafico web, para que el software tenga vigencia en los usuarios y el ciclo de vida sea mayor.
3.3 Método de cálculo según Hugo Pereira y Andrés Chirino
4. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
En el planteamiento del problema inicial se consideró los puntos.
5. RESULTADO FINAL
El resultado final se puede visualizar en la página web, que se encuentra en etapa de depuración, es decir se está corrigiendo errores y esta resumida en el cuadro 3.
Cuadro 3: se puede apreciar la característica técnica del software
Este software denominado, TABLA DE CALCULO PARA NIÑOS, BASADO EN LA MATEMÁTICA DE LOS INCAS, (YUPANA), software utilizado como una herramienta pedagógica en la escuela primaria es decir es un recurso didáctico que facilita el cálculo matemático. Este software desarrollado en Visual Basic. Esta es la versión 1.0 del 15 de marzo del 2013
Esta aplicación se puede visualizar desde un PC, o dispositivos móviles donde se pueda ejecutar, el aplicativo.
5.1 INFORMACIÓN BÁSICA
5.1.1 LOS FORMULARIOS DE ENTRADA
LA TABLA DE CALCULO PARA NIÑOS, BASADO EN LA MATEMÁTICA DE LOS INCAS, (YUPANA), es un instrumento que facilita la enseñanza de matemáticas a los niños; porque permite mostrar, revisar editar las operaciones que emulan las operaciones matemáticas de los incas (de la Yupana). Los módulos operacionales algorítmicos están diseñados de modo muy fácil y amigable para realizar las operaciones matemáticas.
La tabla presenta un panel principal con un cuadro de dialogo que permite ingresar datos numéricos picando con el mouse; si no se tuviera una pantalla touchscreenen que facilitaría el ingreso de los números picando con el dedo y están diseñados de manera muy conveniente para interactuar con el aplicativo.
La tabla está compuesta por los siguientes módulos:
• RESULTADOS EN FORMA DE GRAFICOS
• CONSOLA DE OPERACIONES
• CUADRO DE DIALOGO TIPO DISPLAY
• TABLA DE VALORES POSICIONALES
5.1.2 MODO DE IMPRIMIR
Se puede cogerla la imagen con la tecla PRTSC, y exportando como imagen jpg a Word, para tener un registro del trabajo
5.1.3 COMO SE TERMINA LA SESION
Se cierra la cesión, picando el campo donde aparece reset
5.1.4 MODO DE INGRESAR AL SISTEMA
La tabla es un sistema que posee un acceso libre con instalador incorporado y no requiere de usuario ni password, para acceder al aplicativo ver figura 7 y 8
Figura 7: icono que representa al aplicativo
que se tiene que picar para ingresar
Figura 8: el icono que apareceré en el extremo inferior,
representa el aplicativo en uso.
5.1.5 MODO DE INICIAR EL APLICATIVO
A continuación explicaremos en 6 pasos la manera de cómo se usa el aplicativo para
sumar; de manera análoga se realizan todas las operaciones (resta, multiplicación y división) y son las siguientes:
1. INGRESO AL APLICATIVO
La tabla es un sistema calculo que posee una ventana de ingreso que datos, esta ventana simula una consola de cálculo, ver figura 9, 10 y 11 :
Figura 9: se presiona START, activándose todo el sistema
Figura 10: para elevar el grado de dificultad tiene una alternativa
de desactivar los números posicionales que se ocultaran al
momento de la operación, para desarrollar la memoria de los niños
Figura 11: elevando aún más el nivel de dificultad,
se puede desactivar el display que permite visualizar el resultado.
2. Ingresar al aplicativo que contiene la calculadora; se visualizara los números en cada espacio con los respectivos valores posicionales, que permitirá seleccionar el numero deseado, ver figura 6:
Figura 6: Ingresando al aplicativo luego de activar START,
la consola te indica de manera amigable que ingrese
el primer número que deseas para la operación
3. Se introduce el primer número, ver figura 7.
Figura 7: se introduce el número 11 para el ejemplo
4. Hacer click en la suma, ver figura 8.
Figura 8: activando la tecla de suma,
para luego ingresar el otro número.
5. Se introduce el segundo número.
Figura 8: en la consola se introduce el otro número que para este caso es 33
6. Hacer click en la tecla igual, ver figura 9
Figura 9: luego de activar la tecla igual (=),
se puede visualizar el resultado, complementariamente
se visualiza al costado una recreación de un quipus,
en el lado derecho de la consola.
8. CONCLUSIONES
8.1 El sistema tiene deficiencias técnicas, de sensores, microcontroladores, y falta de componentes adecuados que se pueden diseñar,
8.2 El tema estético de la presentación como producto final, requiere del desarrollo de un estudio de mercado, para que tenga aceptación y pueda ser ofertado.
8.3 La programación del software requiere de un equipo multidisciplinario, capaz de integrar aporte de la ingeniería y especialidades como educación, antropología social, para personalizar la Yupana para cada región del Perú.
8.4 Desconocimiento de un sector la comunidad académica y algunas autoridades del potencial de este sistema matemático, que impiden la implantación de su uso en los colegios peruanos.
8.5 Subvaluación de la cultura andina y su aporte de las ciencias matemáticas para su aplicación
8.6 Sobrevaloración de la cultura occidental en ciencias matemáticas, que impiden que reconozcan el valor de este aporte
8.7 Llegar a un hardware y un software de Yupana, con la calidad y la performance que sea aceptado por el mercado, requiere perfeccionamiento e inversión que por ahora las líneas de investigación de las instituciones no están dispuestas a apostar.
8.8 Al iniciar el proyecto de investigación Yupana, ninguna institución, tenía los mecanismos que permitiera ser admitida, como investigación dentro de la formalidad académica, solo cuando se logró resultados con las patentes, es que este artículo fue admitido
8.9 China es un buen ejemplo de revaloración del Abaco habiendo desarrollado su Abaco a niveles de difusión e industrialización para el consumo de su cultura ancestral.
8.10 una de las principales peligros del proyecto yupana es que el concepto de yupana se distorsione.
8.11 la idea que hace que la operación matemática sea sencilla y poder resolver calculos complejos, pierda su escencia por el deslumbramiento de la tecnología.
8.12 que se pierda la conexión con lo natural, la materialidad de la abstracción.
8.13 que los elementos que se adiciones al objeto Yupana electrónica, software, web distancien de la esencia de la Yupana andina.
9. DISCUSIÓN EVALUACION
9.1 El proyecto YUPANA, consiste en la puesta en valor, del sistema de cálculo de la cultura INCA, utilizando tecnología de punta.
9.2 Este es un proyecto global que contempla varias etapas, la primera es el desarrollo y perfeccionamiento de la YUPANA ELECTRONICA; en la segunda etapa se elabora la YUPANA SOFTWARE que es un aplicativo, para página web de tal manera que los jóvenes puedan conocer este sistema de cálculo Inca, de manera lúdica por medio del internet.
9.3 Los aportes culturales (arte, medicina, agricultura, etc.) de la sociedad andina del PERU, en todos los ámbitos del desarrollo humano han sido olvidados, por la formación occidental que recibimos en la educación peruana. Las matemática no son la excepción, en este sentido este proyecto es un tributo a ing. Hugo PEREIRA SÁNCHEZ egresado de la UNI, que investigo los quipus y la Yupana, demostrando un amor por la cultura peruana. Sus obras se publicación póstumamente por el CONCYTEC, el 2011; en este contexto tomo conocimiento, de su obra por el objeto cerámico, LA YUPANA, dada mi actividad docente como profesor de Cerámica, Telares Experimental en la FAUA-UNI.
9.4 Habiendo desarrollado diferentes tipos de YUPANAS en arcilla y acrílico, en el curso que imparto y en el laboratorio de diseño digital de la FAUA-UNI, me pongo en contacto con Dr. Andrés CHIRINOS RIVERA (imagen 3), que tenía experiencia con YUPANAS en madera que lo desarrolla en un proyecto intercultural en la selva peruana, y con su experiencia aporto, en el perfeccionamiento de la YUPANA SOFTWARE, incorporando la didáctica de la enseñanza a niños con los métodos se suma de los INCAS.
9.5 Se recibió para el perfeccionamiento de este software, el apoyo del Arq. LUIS SOLDEVILLA (Jefe de la oficina de admisión UNI) y arq. LUIS CABELLO (decano FAUA-UNI).
9.6 En este proyecto a convocado alumnos docentes autoridades de la UNI, con un interés común, reconstruir las matemáticas de los Incas para las nuevas generaciones, que ING. HUGO PEREIRA inicio en la UNI, el trabajo de todos los que participaron en este proyecto fue ad honoren e incluso aportaron económicamente, como el ing. Luis Jaramillo
9.7 Este proyecto pretende crear un puente entre el pasado y el futuro, llevando el sistema de cálculo de los incas a los jóvenes, con los recurso tecnológico de la modernidad, para que las nuevas generaciones conozcan los aportes culturales ciencias matemáticas de la sociedad peruana al mundo. Ya que estos sistemas matemáticos mantuvieron una organización administrativa, en el estado inca.
9.8 Este proyecto con más de 15 prototipos preliminares (imagen 4) se autofinancia porque de los institutos de investigación, no contemplan líneas de investigación en esta materia. El desarrollo de tecnologías originarias andinas en el campo de las ciencias matemática, no es prioridad para el sistema académico tradicional
8 REFERENCIAS
Libro
1. Julia WalterHerrmann, I., “FabLab of machines, maquers and inventors”, first edition, editorial Cultural and Media Sudies. Deutsche2013.ISBN: 978-3-8376-2382-6
2. Bas Van Abel, Lucas Evers, RoelKlaassen, Peter Troxler, “Open Design Now”, second printing. edición editorial BIS,USA San Francisco 2011. ISBN: 978-90-6369-259-9
Artículo de revista
3.Gonzales Arnao, Walter H.,“Unaaproximación a la cultura del diseño industrial en el Perú”. Revista Docente, Nº8, pp20-23, Peru 2009.
Información Web
4http://www.amigo-latino.de/indigena/delusion_dialectica_11_10_09.pdf
5. http://156.35.151.9/~smi/5tm/10trabajos-practicos/1/Memoria.pdf
6.http://www.khronos.org/files/opengl41-quick-reference-card.pdf
7.http://www.khronos.org/webgl/
8. http://khronos.org/webgl/wiki/Main_Page
9.http://worldspace.berlios.de/fase1/index.html
10.http://www.scribd.com/doc/31291543/OpenGL-Basico
11. ACOSTA José De, Historia Natural y Moral de las Indias, 1590 http://to.ly/jdJO
12.Libro VI cap XVIII – De los memoriales y cuentas que usaron los Indios del Perú
http://to.ly/jdJW
13.http://es.scribd.com/doc/36501843/Yupana-Digital
14http://books.google.com.pe/books?id=TmbajGgliYYC&pg=PA296&lpg=PA296&dq=estudios+sobre+la+yupana&source=bl&ots=ohT_Nr8bU2&sig=saCutxmuA0zLHjSlvUcro1xdUQM&hl=es-419&sa=X&ei=XRkKU-HSLPSgsASOqYHADA&ved=0CDMQ6AEwAQ#v=onepage&q&f=false
15http://www.monografias.com/trabajos65/charles-wiener/charles-wiener3.shtml#xsistcalcincas
16.http://cursa.ihmc.us/rid=1J2NH8QTM-2912G6-PZ5/yupana_como_herramienta_pedagogica.pdf
17.http://cienciatecnologiainnovacion.blogspot.com/2011/09/aporte-del-ing-hugo-pereyra-al.html
18.http://www.monografias.com/trabajos-pdf2/acerca-yupana-calendarica/acerca-yupana-calendarica.pdf
19.http://kunturweb.altervista.org/tk-yupana/doc/tk-yupana-ES.pdf
20.http://www.abovetopsecret.com/forum/thread784247/pg1
https://www.youtube.com/watch?v=CGNzzxILrQo
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