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31 julio 2018

Los poliedros arquimedeanos, caracteristicas y aplicaciones



Poliedros arquimedeanos

Los poliedros arquimedeanos o sólidos arquimedeanos son poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares de 2 o 3 clases diferentes, cuyas aristas son todas de igual longitud y todos sus vértices son puntos de la esfera que los circunscribe. Los ángulos poliedros que determinan las aristas en cada vértice son todos congruentes. Aunque tienen variadas aplicaciones, estos cuerpos son de interés más por su bella e intrigante forma y sus ricas propiedades geométricas que por su utilidad práctica.

Rasgos principales
Un poliedro o sólido arquimedeano tiene los siguientes rasgos:

El segmento determinado por 2 vértices cualesquiera es siempre interior al cuerpo (es un poliedro convexo).

Todos sus vértices son puntos de una esfera de diámetro D (esfera circunscripta, véase la tabla inferior).

Sus caras son polígonos regulares de por lo menos 2 tipos diferentes (es semirregular).

Todas sus aristas tienen la misma longitud.

Los ángulos poliedros determinados por las aristas que convergen en cada vértice son convexos (es un polígono convexo). Es decir, la suma de los ángulos internos de todas las caras con un vértice común es menor que 360°. Esto limita drásticamente las combinaciones de polígonos regulares que pueden formar las caras.

Sus caras pertenecen a 2 o a lo sumo a 3 de las siguientes categorías de polígonos regulares: triángulos equiláteros, cuadrados, pentágonos, exágonos, octógonos y decágonos.

Los ángulos poliedros determinados por las aristas que convergen en cada vértice son congruentes, es decir, pueden superponerse exactamente por traslaciones, rotaciones o/y reflexiones. Ésto permite construirlos de modo simple usando "esquineros" similares para todos los vértices.

Satisface (por ser un poliedro convexo) la relación de Euler[1]: Nº de vértices + Nº de caras – Nº de aristas = 2, como puede verificarse directamente de la tabla inferior.

El uso combinado de las relaciones 5 y 8 permiten determinar la cantidad de sólidos arquimedeanos posibles. Usualmente se considera que hay 15 poliedros arquimedeanos diferentes, donde 2 de ellos son enantiomorfos (imágenes especulares) de otros 2. 

El número que satisface la definición inicial es en realidad infinito porque incluye todos los prismas y antiprismas de caras laterales son cuadrados o triángulos equiláteras y cuyas bases son cualquiera de los infinitos polígonos regulares, exceptuando al cuadrado (este prisma coincide con el cubo). Por esta razón es usual, aunque no hay consenso universal al respecto, excluir a los prismas y antiprismas de la lista de poliedros arquimedeanos.

La tabla siguiente da algunos datos importantes de los poliedros arquimedeanos. En tipos de caras se especifica la cantidad de caras que pertenece a cada tipo de polígono regulare. Los ángulos en vértices son los determinados por las aristas que convergen en un vértice y se dan en sentido horario mirando desde el interior del poliedro. D es el diámetro de la esfera en la está circunscripto el poliedro y se expresa en términos de la longitud a de las aristas[2]. 

Los dos últimos datos son indispensables para el método constructivo que se da en el artículo Cómo armar poliedros. El grupo puntual, que no se discutirá aquí, identifica matemáticamente las simetrías de cada poliedro.






Algunas aplicaciones prácticas

Cúpula sobre pechinas de la mezquita de Ahmed en Estambul.

Cubo romo: cúpula bizantina sobre pechinas (en rigor, la superficie se obtiene de la intersección de la esfera que inscribe al cubo romo con el cubo del cual éste se obtiene por truncamiento).

Icosaedro truncado: cúpulas geodésicas; pelotas de fútbol.

Octaedro truncado: único poliedro semirregular capaz de llenar por repetición un volumen sin dejar intersticios.

Rombicuboctaedro: forma antigua de faroles que llegó a ser usado en algunos de los primeros automóviles.

Rombicosidodecaedro: cúpulas geodésicas; estructura de los fullerenos.



























Fuentes

Archimedean solid en WolframMathworld.

Ghyka, Matila; Estética de las proporciones en la naturaleza y en las artes; Editorial Poseidón; ciudad de Buenos Aires; 1953; Ghyka EPNA; pp. 87‑95. Discute interesantes usos artísticos pero la terminología no siempre es matemáticamente correcta.

Archimedean solid en Wikipedia en inglés.
Uzquiano, Gabriel; ¿Qué es un poliedro?; revista Investigación y Ciencia; septiembre 2011; pp. 91‑93.

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