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15 septiembre 2010

HISTORIA DE UN POLIEDRO - Edith Patrón Fernandez



El estudio de los poliedros es una de las áreas más versátiles de las Matemáticas, en lo que respecta tanto a sus aplicaciones como a las posibilidades que ofrece a expertos y a amateurs para trabajar en estos temas. Los poliedros más comunes son conocidos por gran parte de la sociedad; sin embargo, son muchos los que desconocen algunas de sus propiedades. 

En este trabajo intentaremos, además de destacar algunas de estas propiedades, poner de manifiesto cómo el arte y la ciencia han motivado el estudio matemático de los poliedros y cómo esos mismos estudios han supuesto un desarrollo artístico y científico posterior. Es por ello que hemos organizado este trabajo en tres secciones. En primer lugar recogemos algunos aspectos generales sobre poliedros. En la segunda sección intentaremos mostrar la interacción entre poliedros y arte. Finalmente, en la última parte del trabajo, destacaremos algunas situaciones relacionadas con diversas ramas de la Ciencia como la Física, la Aeronáutica o la Biología, en las que aparecen ciertas estructuras poliedrales.



Hemos mencionado al comienzo de este trabajo el término Poliedro sin precisar intencionadamente su definición, ya que este vocablo tiene varias acepciones. Depende del contexto en el que estemos trabajando. Para nuestros propósitos un poliedro será una forma 3-dimensional acotada por polígonos (región del plano limitada por segmentos).

Una clase especial de poliedros son los poliedros convexos. Algebraicamente, un poliedro convexo es el conjunto de soluciones del sistema MX≤B, donde M es una sx3-matriz real y B es un s-vector. Geométricamente, un poliedro convexo es aquél en el que el segmento que une dos puntos del mismo está contenido en el poliedro o en su interior. En un poliedro convexo, el número de vértices V , el de caras F y el de aristas E están relacionados por la fórmula de Euler V+F-E=2. 

 

Los vestigios encontrados en algunas zonas de Escocia nos hace pensar que ya algunos pueblos neolíticos conocían la existencia de ciertos poliedros. Estos restos, actualmente localizados en el Ashmolen Museum de Oxford, son piedras esculpidas que recuerdan a algunos poliedros (cubo, icosaedro, dodecaedro..) y que se sospecha pudieron ser usados como dados, elementos de juego o decorativos

Algunas civilizaciones como la egipcia y la babilónica tenían un conocimiento más explícito de algunos de estos poliedros (cubo, tetraedro, octaedro, pirámide,). Una evidencia de ello la encontramos en las famosas pirámides egipcias, santuarios de eternidad de los faraones, en donde ya comienza a ponerse de manifiesto la conexión entre los poliedros y ciertos aspectos religiosos y místicos.

Estos conocimientos pudieron haberse propagado desde Egipto y Babilonia a Grecia a través de los viajes de Tales y Pitágoras. Se sospecha que el interés de Pitágoras por los poliedros regulares viene de la observación de estas formas geométricas en los minerales, ya que su padre era grabador de piedras preciosas.

Los Pitagóricos estaban fascinados por los poliedros conocidos, pero sobre todo, por el dodecaedro y por su relación con el cosmos. Relata Jámbico cómo la divinidad elimina al delator de uno de sus grandes secretos: ”la divinidad se disgustó con el que divulgó las doctrinas de Pitágoras, de tal forma que pereció en el mar, por el sacrilegio cometido, el que reveló como se inscribía en una esfera la constitución del dodecaedro”.



La razón de esta fascinación se debe a su relación con el pentagrama místico (pentalfa) o estrella de 5 puntas (ver Fig.4), emblema de la salud y símbolo de identificación de los Pitagóricos. Esta estrella se obtiene al trazar en un pentágono regular las diagonales o prolongar sus lados. Una de las bellas propiedades que tiene el pentagrama es que los cortes entre las diagonales determinan segmentos que están en proporción áurea (divina proporción), siendo el segmento mayor igual al lado del pentágono. Recordamos que un punto C entre el segmento AB determina la sección áurea si AC/BC = BC/AB. La sección áurea, en forma de rectángulo áureo (los lados del rectángulo están en proporción áurea), aparece en muchas obras arquitectónicas emblemáticas a lo largo de la historia: el Partenón, la gran muralla China, el castillo de Windsor, la Plaza de la Concordia en París,...

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